Banyak sistem bilangan yang dapat dan telah dipakai dalam
melaksanakan perhitungan. Tetapi ada sistem bilangan yang sudah jarang
dipakai ataupun tidak dipakai lagi sama sekali dan ada pula sistem
bilangan yang hanya dipakai pada hal-hal tertentu saja. Sistem bilangan
limaan (quinary) dipergunakan oleh orang Eskimo dan orang Indian di
Amerika Utara zaman dahulu. Sistem bilangan Romawi yang sangat umum
dipakai pada zaman kuno, kini pemakaiannya terbataspada pemberian nomor
urut seperti I untuk pertama, II untuk kedua, V untuk kelima dan
seterusnya. kadang-kadang dipakai juga untuk penulisan tahun seperti
MDCCCIV untuk menyatakan tahun 1804. Sistem bilangan dua belasan
(duodecimal) sampai kini masih banyak dipakai seperti 1 kaki = 12 Inci, 1
lusin = 12 buah dan sebagainya. Namun yang
paling umum dipakai kini adalah system bilangan puluhan (decimal) yang kita pakai dalam kehidupan sehari-hari.
Seperti diketahui bahwa di dalam mikro computer semua input, output dan isi memori dilakukan melalui sandi. Sandi ini lalu dipadankan (diubah) ke sandi bilangan misalnya biner, oktal, decimal atau heksadesimal. Dan bersama itu, karakterpun disandikan ke bentuk bilangan demikian.
Nilai suatu bilangan decimal adalah hasil penjumlahan dari setiap posisi yang dikalikan dengan nilai posisi masing-masing.
Contoh:
Untuk selanjutnya bila kita menggunakan sandi decimal selalu digunakan huruf D di belakang atau tidak dituliskan sama sekali pada bilangan yang dimaksud.
Contoh : 532D artinya bilangan decimal 532 atau hanya ditulis 532 saja.
Dapat disadari bahwa bila kita bekerja dengan lebih dari satu bilangan,
maka kita akan mengalami kebingungan bila kita tidak memakai suatu tanda yang menyatakan dasar setiap bilangan. Untuk mencegah hal ini, pada setiap bilangan dicantumkan dasar bilangannya, seperti (101)2 atau 1012 untuk menyatakan bilangan 101 dalam biner. Jadi, contoh diatas dapat dituliskan sebagai : (101,01)2 = (5,25)10
Untuk uraian selanjutnya, kita akan memakai cara penulisan ini bilamana diperlukan. Bilamana dasar dari pada bilangan sudah jelas dari uraian ataupun bila kita hanya membicarakan satu sistem bilangan, tentunya kita tidak perlu dan tak akan memberikan tanda tersebut. Didalam praktek pemrograman komputer, sering tanda tersebut hanya diberikan kepada bilangan yang bukan puluhan.
Bilangan oktal mempunyai bilangan dasar (radix) 8, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.
bilangan dasarnya adalah 16. Sepuluh dari simbol tersebut diambil dari kesepuluh
simbol angka pada sistem bilangan puluhan dan enam angka yang lain
diambil dari huruf dalam abjad A – F. Jadi, ke-16 simbol heksadesimal adalah: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Huruf-huruf A, B, C, D, C dan F secara
berturut-turut bernilai 10, 11, 12, 13, 14, 15.
v KONVERSI BILANGAN
Contoh 1.
Tentukanlah bilangan biner yang berharga sama dengan bilangan decimal 118. Pembagian secara berturut-turut akan menghasilkan:
118 : 2 = 59 sisa 0 7 : 2 = 3 sisa 1
59 : 2 = 29 sisa 1 3 : 2 = 1 sisa 1
29 : 2 = 14 sisa 1 1 : 2 = 0 sisa 1
14 : 2 = 7 sisa 0 0 : 2 = 0 sisa 0
Jadi, (118)10 = (01110110)2
Perhatikan bahwa walaupun pembagian diteruskan, hasil berikutnya akan tetap 0 dan sisanya juga tetap 0. Ini benar karena penambahan angka 0 di kiri bilangan tidak mengubah harganya.
Contoh 2.
Tentukanlah bilangan biner yang berharga sama dengan bilangan decimal 0,8125. Pengalian secara berturut-turut akan menghasilkan :
0.8125 x 2 = 1,625 0,500 x 2 = 1,000
0,625 x 2 = 1,250 0,000 x 2 = 0,000
0,250 x 2 = 0,500
Jadi, (0,8125)10 = (0,11010)2
Perhatikan bahwa angka-angka biner yang dicari adalah angka yang di kiri tanda koma, dan yang paling kiri dalam bilangan biner adalah angka di kiri koma hasil perkalian pertama. Juga perhatikan bahwa walaupun pengalian diteruskan hasil perkalian akan tetap 0 dan ini benar karena penambahan angka 0 ke kanan tidak akan mengubah harganya.
Contoh 3.
Ubahlah bilangan desimal 457,65 ke bilangan biner.
Untuk melakukan konversi ini, dilakukan pembagian untuk bagian bulatnya dan pengalian untuk bagian pecahannya seperti yang dilakukan pada kedua contoh sebelumnya, dengan hasil sebagai berikut ini:
457 : 2 = 228 sisa 1 0,65 x 2 = 1,3
228 : 2 = 114 sisa 0 0,30 x 2 = 0,6
114 : 2 = 57 sisa 0 0,60 x 2 = 1,2
57 : 2 = 28 sisa 1 0,20 x 2 = 0,4
28 : 2 = 4 sisa 0 0,40 x 2 = 0,8
14 : 2 = 7 sisa 0 0,80 x 2 = 1,6
7 : 2 = 3 sisa 1 0,60 x 2 = 1,2
3 : 2 = 1 sisa 1 0,20 x 2 = 0,4
1 : 2 = 0 sisa 1 0,40 x 2 = 0,8
0,80 x 2 = 1,6
Jadi, (457,65)10 = (111001001,1010011001 …..)2
Dari contoh terakhir ini dapat dilihat bahwa untuk bagian pecahan, pengalian dengan 2 akan berulang-ulang menghasilkan deretan 1,6; 1,2; 0,4; 0,8 yang berarti bahwa deretan angka biner 11001100 akan berulang terus. Ini berarti bahwa ada bilangan pecahan puluhan yang tak dapat disajikan dalam biner dengan ketelitian 100 %. Kesalahan atau ralat konversi itu semakin kecil bila cacah angka biner (bit) yang dipergunakan lebih besar. Bagaimanapun juga, cacah bit dalam setiap sistem digital sudah tertentu sehingga ketelitian pengkodean untuk setiap sistem digital sudah tertentu pula.
1 011 001 111 10 1100 1111
(1 3 1 7) 8 (2 C F )16
Konversi sebaliknya, dari oktal dan heksadesimal ke biner juga dapat dilakukan dengan mudah dengan menggantikan setiap angka dalam oktal dan heksadesimal dengan setaranya dalam biner.
Contoh 1.(
3456)8 = (011 100 101 110)2
(72E)16 = (0111 0010 1110)2
Dari contoh ini dapat dilihat bahwa konversi dari oktal ke heksadesimal dan sebaliknya akan lebih mudah dilakukan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke biner.
Contoh 2.
(3257)8 = (011 010 101 111)2
(0110 1010 1111)2 = (6AF)16
Perhatikan bahwa bilangan biner dalam konversi oktal biner dan konversi biner-heksadesimal hanyalah berbeda dalam pengelompokannya saja.
melakukan pembagian berulang-ulang untuk bagian bulat dan perkalian berulang-ulang untuk bagian pecahan seperti yang dilakukan pada konversi desimal-biner di bagian depan. Sebenarnya cara ini berlaku untuk semua dasar sistem bilangan.
Contoh : Untuk (205,05)10
Oktal: Heksadesimal:
205 : 8 = 25 sisa 5 205 : 16 = 12 sisa 13 = D
25 : 8 = 3 sisa 1 12 : 16 = 0 sisa 12 = C
3 : 8 = 0 sisa 3
0,05 x 8 = 0,4 0,05 x 16 = 0,8
0,40 x 8 = 3,2 0,80 x 16 = 12,8 (12 = C)
0,20 x 8 = 1,6 0,80 x 16 = 12,8
0,60 x 8 = 4,8
0,80 x 8 = 6,4
0,40 x 8 = 3,2
0,20 x 8 = 1,6
Jadi, (205,05)10 = (315,031463146…)8 = (CD,0CCCC..)16.
paling umum dipakai kini adalah system bilangan puluhan (decimal) yang kita pakai dalam kehidupan sehari-hari.
Seperti diketahui bahwa di dalam mikro computer semua input, output dan isi memori dilakukan melalui sandi. Sandi ini lalu dipadankan (diubah) ke sandi bilangan misalnya biner, oktal, decimal atau heksadesimal. Dan bersama itu, karakterpun disandikan ke bentuk bilangan demikian.
- SISTEM BILANGAN DESIMAL
Nilai suatu bilangan decimal adalah hasil penjumlahan dari setiap posisi yang dikalikan dengan nilai posisi masing-masing.
Contoh:
- Bilangan 532 dengan bilangan dasar 10, maka :
- Bilangan 65536 dengan bilangan dasar 10, maka :
Untuk selanjutnya bila kita menggunakan sandi decimal selalu digunakan huruf D di belakang atau tidak dituliskan sama sekali pada bilangan yang dimaksud.
Contoh : 532D artinya bilangan decimal 532 atau hanya ditulis 532 saja.
- SISTEM BILANGAN BINER
Dapat disadari bahwa bila kita bekerja dengan lebih dari satu bilangan,
maka kita akan mengalami kebingungan bila kita tidak memakai suatu tanda yang menyatakan dasar setiap bilangan. Untuk mencegah hal ini, pada setiap bilangan dicantumkan dasar bilangannya, seperti (101)2 atau 1012 untuk menyatakan bilangan 101 dalam biner. Jadi, contoh diatas dapat dituliskan sebagai : (101,01)2 = (5,25)10
Untuk uraian selanjutnya, kita akan memakai cara penulisan ini bilamana diperlukan. Bilamana dasar dari pada bilangan sudah jelas dari uraian ataupun bila kita hanya membicarakan satu sistem bilangan, tentunya kita tidak perlu dan tak akan memberikan tanda tersebut. Didalam praktek pemrograman komputer, sering tanda tersebut hanya diberikan kepada bilangan yang bukan puluhan.
- SISTEM BILANGAN OKTAL
Bilangan oktal mempunyai bilangan dasar (radix) 8, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 dan 7.
- BILANGAN HEKSADECIMAL
bilangan dasarnya adalah 16. Sepuluh dari simbol tersebut diambil dari kesepuluh
simbol angka pada sistem bilangan puluhan dan enam angka yang lain
diambil dari huruf dalam abjad A – F. Jadi, ke-16 simbol heksadesimal adalah: 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Huruf-huruf A, B, C, D, C dan F secara
berturut-turut bernilai 10, 11, 12, 13, 14, 15.
v KONVERSI BILANGAN
- Konversi Decimal-Biner
Contoh 1.
Tentukanlah bilangan biner yang berharga sama dengan bilangan decimal 118. Pembagian secara berturut-turut akan menghasilkan:
118 : 2 = 59 sisa 0 7 : 2 = 3 sisa 1
59 : 2 = 29 sisa 1 3 : 2 = 1 sisa 1
29 : 2 = 14 sisa 1 1 : 2 = 0 sisa 1
14 : 2 = 7 sisa 0 0 : 2 = 0 sisa 0
Jadi, (118)10 = (01110110)2
Perhatikan bahwa walaupun pembagian diteruskan, hasil berikutnya akan tetap 0 dan sisanya juga tetap 0. Ini benar karena penambahan angka 0 di kiri bilangan tidak mengubah harganya.
Contoh 2.
Tentukanlah bilangan biner yang berharga sama dengan bilangan decimal 0,8125. Pengalian secara berturut-turut akan menghasilkan :
0.8125 x 2 = 1,625 0,500 x 2 = 1,000
0,625 x 2 = 1,250 0,000 x 2 = 0,000
0,250 x 2 = 0,500
Jadi, (0,8125)10 = (0,11010)2
Perhatikan bahwa angka-angka biner yang dicari adalah angka yang di kiri tanda koma, dan yang paling kiri dalam bilangan biner adalah angka di kiri koma hasil perkalian pertama. Juga perhatikan bahwa walaupun pengalian diteruskan hasil perkalian akan tetap 0 dan ini benar karena penambahan angka 0 ke kanan tidak akan mengubah harganya.
Contoh 3.
Ubahlah bilangan desimal 457,65 ke bilangan biner.
Untuk melakukan konversi ini, dilakukan pembagian untuk bagian bulatnya dan pengalian untuk bagian pecahannya seperti yang dilakukan pada kedua contoh sebelumnya, dengan hasil sebagai berikut ini:
457 : 2 = 228 sisa 1 0,65 x 2 = 1,3
228 : 2 = 114 sisa 0 0,30 x 2 = 0,6
114 : 2 = 57 sisa 0 0,60 x 2 = 1,2
57 : 2 = 28 sisa 1 0,20 x 2 = 0,4
28 : 2 = 4 sisa 0 0,40 x 2 = 0,8
14 : 2 = 7 sisa 0 0,80 x 2 = 1,6
7 : 2 = 3 sisa 1 0,60 x 2 = 1,2
3 : 2 = 1 sisa 1 0,20 x 2 = 0,4
1 : 2 = 0 sisa 1 0,40 x 2 = 0,8
0,80 x 2 = 1,6
Jadi, (457,65)10 = (111001001,1010011001 …..)2
Dari contoh terakhir ini dapat dilihat bahwa untuk bagian pecahan, pengalian dengan 2 akan berulang-ulang menghasilkan deretan 1,6; 1,2; 0,4; 0,8 yang berarti bahwa deretan angka biner 11001100 akan berulang terus. Ini berarti bahwa ada bilangan pecahan puluhan yang tak dapat disajikan dalam biner dengan ketelitian 100 %. Kesalahan atau ralat konversi itu semakin kecil bila cacah angka biner (bit) yang dipergunakan lebih besar. Bagaimanapun juga, cacah bit dalam setiap sistem digital sudah tertentu sehingga ketelitian pengkodean untuk setiap sistem digital sudah tertentu pula.
- Konversi Biner-Oktal-Heksadecimal
1 011 001 111 10 1100 1111
(1 3 1 7) 8 (2 C F )16
Konversi sebaliknya, dari oktal dan heksadesimal ke biner juga dapat dilakukan dengan mudah dengan menggantikan setiap angka dalam oktal dan heksadesimal dengan setaranya dalam biner.
Contoh 1.(
3456)8 = (011 100 101 110)2
(72E)16 = (0111 0010 1110)2
Dari contoh ini dapat dilihat bahwa konversi dari oktal ke heksadesimal dan sebaliknya akan lebih mudah dilakukan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke biner.
Contoh 2.
(3257)8 = (011 010 101 111)2
(0110 1010 1111)2 = (6AF)16
Perhatikan bahwa bilangan biner dalam konversi oktal biner dan konversi biner-heksadesimal hanyalah berbeda dalam pengelompokannya saja.
- Konversi Desimal-Oktal-Heksadesimal
melakukan pembagian berulang-ulang untuk bagian bulat dan perkalian berulang-ulang untuk bagian pecahan seperti yang dilakukan pada konversi desimal-biner di bagian depan. Sebenarnya cara ini berlaku untuk semua dasar sistem bilangan.
Contoh : Untuk (205,05)10
Oktal: Heksadesimal:
205 : 8 = 25 sisa 5 205 : 16 = 12 sisa 13 = D
25 : 8 = 3 sisa 1 12 : 16 = 0 sisa 12 = C
3 : 8 = 0 sisa 3
0,05 x 8 = 0,4 0,05 x 16 = 0,8
0,40 x 8 = 3,2 0,80 x 16 = 12,8 (12 = C)
0,20 x 8 = 1,6 0,80 x 16 = 12,8
0,60 x 8 = 4,8
0,80 x 8 = 6,4
0,40 x 8 = 3,2
0,20 x 8 = 1,6
Jadi, (205,05)10 = (315,031463146…)8 = (CD,0CCCC..)16.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar